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Ressonância em circuitos RLC série e paralelo

Leitura de 7 min · Equipe bitGateLab

Quando você junta um indutor e um capacitor no mesmo circuito, aparece um fenômeno muito útil: a ressonância. Em certa frequência as reatâncias dos dois se cancelam e o circuito responde de forma muito diferente do que no restante do espectro. Graças a isso, um receptor de rádio escolhe uma estação entre centenas, um filtro seleciona um tom e um oscilador produz uma frequência estável. Aqui você aprenderá a calcular a frequência de ressonância, o fator de qualidade Q e a largura de banda dos circuitos RLC série e paralelo.

O circuito RLC série

Com R, L e C em série, a impedância total é a soma das três:

Z = R + j(X_L − X_C) = R + j(ωL − 1/(ωC))

A reatância do indutor cresce com a frequência e a do capacitor diminui. Isso define três regiões:

Abaixo da ressonância, X_C > X_L: o circuito é capacitivo e a corrente está adiantada em relação à tensão.
Na ressonância, X_L = X_C: as reatâncias se cancelam, Z = R, a impedância é mínima, a corrente é máxima e está em fase com a tensão.
Acima da ressonância, X_L > X_C: o circuito é indutivo e a corrente fica atrasada.

Igualando ωL = 1/(ωC), obtém-se a frequência de ressonância:

f₀ = 1 / (2π√(LC))

Observe que f₀ depende apenas do produto LC. A resistência não muda onde a ressonância ocorre, mas muda o quanto ela é acentuada.

Fator de qualidade Q

O fator Q mede o quanto a ressonância é "aguda". Para o circuito série, ele é definido como a reatância na ressonância dividida pela resistência:

Q = X_L0 / R = (1/R) · √(L/C)

Um Q alto tem uma consequência que surpreende na primeira vez: na ressonância, a tensão no indutor e no capacitor é Q vezes a tensão da fonte. As duas tensões são iguais e opostas, então se cancelam e você não as vê na soma, mas cada componente as suporta de fato.

Em um RLC série com Q = 30 alimentado com 1 V, o capacitor pode ficar submetido a 30 V. Verifique sempre a tensão nominal dos componentes de um circuito ressonante.

Largura de banda

A largura de banda (BW) é o intervalo de frequências em que a corrente se mantém acima de 0.707 vezes seu valor máximo, ou seja, em que a potência entregue a R é pelo menos metade da máxima. Seus limites, f₁ e f₂, são as frequências de meia potência ou de −3 dB:

BW = f₂ − f₁ = f₀ / Q       (no série: BW = R / (2πL))

A frequência de ressonância é a média geométrica dos extremos, f₀ = √(f₁·f₂). Quando Q é maior que 10, a curva é quase simétrica e você pode aproximar f₁ ≈ f₀ − BW/2 e f₂ ≈ f₀ + BW/2.

Corrente normalizada de um RLC série em função da frequência. Com Q = 2 (linha contínua) a largura de banda vai de 0.78·f₀ a 1.28·f₀, ou seja, f₀/2. Com Q = 5 (linha tracejada) a curva é mais estreita.

Exemplo 1: RLC série. L = 10 mH, C = 100 nF e R = 10 Ω, alimentados com 1 V RMS.

LC = 0.01 · 100×10⁻⁹ = 1×10⁻⁹; √(LC) = 3.162×10⁻⁵ s.
f₀ = 1/(2π · 3.162×10⁻⁵) = 5032.9 Hz.
Reatância na ressonância: X_L0 = 2π · 5032.9 · 0.01 = 316.2 Ω (e X_C0 também vale 316.2 Ω).
Q = 316.2/10 = 31.6.
BW = f₀/Q = 5032.9/31.6 = 159.2 Hz. Verificação: R/(2πL) = 10/(0.0628) = 159.2 Hz.
Extremos: f₁ ≈ 4954 Hz e f₂ ≈ 5113 Hz.
Corrente na ressonância: I = 1 V/10 Ω = 0.1 A RMS. Potência em R: 0.1 W.
Tensão no indutor e no capacitor: 0.1 A · 316.2 Ω = 31.6 V RMS em cada um, Q vezes a da fonte.

O circuito RLC paralelo

Com R, L e C em paralelo, convém trabalhar com admitâncias (Y = 1/Z), que se somam:

Y = 1/R + j(ωC − 1/(ωL))

A ressonância ocorre na mesma frequência, f₀ = 1/(2π√(LC)), mas o comportamento é o inverso do série: a admitância é mínima, a impedância é máxima e igual a R, e a corrente fornecida pela fonte é mínima. Por dentro, porém, a energia vai e volta entre L e C: a corrente que circula por cada um é Q vezes a da fonte. Para o paralelo:

Q = R / X₀ = R · √(C/L)        BW = f₀/Q = 1/(2πRC)

Repare que no paralelo uma R maior dá um Q maior, ao contrário do série. Esse circuito, chamado de circuito tanque, é o que se usa em osciladores e em estágios sintonizados.

Exemplo 2: RLC paralelo. Os mesmos L = 10 mH e C = 100 nF, agora em paralelo com R = 10 kΩ e alimentados com 1 V RMS.

f₀ = 5032.9 Hz, igual a antes, porque LC não mudou.
Q = 10 000 · √(100×10⁻⁹/0.01) = 10 000 · 3.162×10⁻³ = 31.6.
BW = 1/(2π · 10 000 · 100×10⁻⁹) = 159.2 Hz.
Corrente da fonte na ressonância: apenas a de R, 1 V/10 kΩ = 0.1 mA.
Corrente no indutor: 1 V/316.2 Ω = 3.16 mA, e a mesma no capacitor: 31.6 vezes a corrente da fonte.

Em um circuito real o indutor tem a resistência do fio em série, então o paralelo ideal é uma aproximação. Se essa resistência for pequena diante de X_L0, a frequência de ressonância quase não muda.

Erros comuns

Esquecer a raiz quadrada em f₀ = 1/(2π√(LC)), ou o 2π, o que dá a frequência angular ω₀ em vez de f₀.
Usar a fórmula de Q do série em um circuito paralelo. No série Q = X₀/R e no paralelo Q = R/X₀.
Acreditar que na ressonância a tensão em L ou em C não pode superar a da fonte. Ela pode ser Q vezes maior.
Achar que a resistência desloca a frequência de ressonância no circuito ideal. Ela só altera Q e a largura de banda.
Varrer a frequência com passos grandes demais e "pular" o pico quando Q é alto.

Experimente no simulador

Com a análise CA você pode ver o pico de ressonância e medir sua largura de banda diretamente no gráfico.

Coloque uma fonte senoidal de 1 V e ligue em série um resistor de 10 Ω, um indutor de 10 mH e um capacitor de 100 nF.
Execute uma varredura CA de 1 kHz a 20 kHz com pontos suficientes por década e observe a corrente ou a tensão no resistor.
Localize o pico perto de 5 kHz e meça as duas frequências em que a curva cai 3 dB.
Observe a tensão no capacitor na ressonância: deve ficar em torno de 31.6 V.
Mude R para 100 Ω e observe como o pico se alarga e diminui, enquanto f₀ permanece no mesmo lugar.
Monte a versão em paralelo com R = 10 kΩ e verifique que agora a impedância é máxima em f₀.

Exercícios

Calcule f₀ para L = 1 mH e C = 10 nF.

Ver resposta
LC = 1×10⁻¹¹, √(LC) = 3.162×10⁻⁶ s. f₀ = 1/(2π · 3.162×10⁻⁶) = 50.33 kHz.
Se esse indutor e esse capacitor formam um RLC série com R = 5 Ω, quanto valem Q e a largura de banda?

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√(L/C) = √(10⁵) = 316.2 Ω, portanto Q = 316.2/5 = 63.2. BW = f₀/Q = 50 329/63.2 = 796 Hz (também R/(2πL) = 5/0.006283 = 796 Hz).
De que capacitor você precisa para que um indutor de 100 mH ressoe em 1 kHz?

Ver resposta
C = 1/((2πf₀)² · L) = 1/((6283)² · 0.1) = 1/(3.948×10⁶) = 253 nF.
Em um RLC série operando acima de f₀, o circuito é indutivo ou capacitivo? A corrente fica adiantada ou atrasada?

Ver resposta
Acima de f₀, X_L > X_C, portanto o circuito é indutivo e a corrente fica atrasada em relação à tensão da fonte.