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Resonancia en circuitos RLC serie y paralelo

Lectura de 7 min · Equipo bitGateLab

Cuando juntas un inductor y un capacitor en el mismo circuito aparece un fenómeno muy útil: la resonancia. A cierta frecuencia las reactancias de ambos se cancelan y el circuito responde de forma muy distinta que en el resto del espectro. Gracias a eso un receptor de radio elige una estación entre cientos, un filtro selecciona un tono y un oscilador produce una frecuencia estable. Aquí aprenderás a calcular la frecuencia de resonancia, el factor de calidad Q y el ancho de banda de los circuitos RLC serie y paralelo.

El circuito RLC serie

Con R, L y C en serie, la impedancia total es la suma de las tres:

Z = R + j(XL − XC) = R + j(ωL − 1/(ωC))

La reactancia del inductor crece con la frecuencia y la del capacitor disminuye. Eso define tres zonas:

Igualando ωL = 1/(ωC) se obtiene la frecuencia de resonancia:

f0 = 1 / (2π√(LC))

Observa que f0 depende solo del producto LC. La resistencia no cambia dónde ocurre la resonancia, pero sí qué tan marcada es.

Factor de calidad Q

El factor Q mide qué tan "afilada" es la resonancia. Para el circuito serie se define como la reactancia en resonancia dividida entre la resistencia:

Q = XL0 / R = (1/R) · √(L/C)

Un Q alto tiene una consecuencia que sorprende la primera vez: en resonancia, el voltaje en el inductor y en el capacitor es Q veces el voltaje de la fuente. Los dos voltajes son iguales y opuestos, así que se cancelan entre sí y no los ves en la suma, pero cada componente sí los soporta.

En un RLC serie con Q = 30 alimentado con 1 V, el capacitor puede ver 30 V. Revisa siempre el voltaje nominal de los componentes de un circuito resonante.

Ancho de banda

El ancho de banda (BW) es el intervalo de frecuencias en el que la corriente se mantiene por arriba de 0.707 veces su valor máximo, es decir, donde la potencia entregada a R es al menos la mitad de la máxima. Sus límites, f1 y f2, son las frecuencias de media potencia o de −3 dB:

BW = f2 − f1 = f0 / Q       (en el serie: BW = R / (2πL))

La frecuencia de resonancia es la media geométrica de los extremos, f0 = √(f1·f2). Cuando Q es mayor que 10, la curva es casi simétrica y puedes aproximar f1 ≈ f0 − BW/2 y f2 ≈ f0 + BW/2.

010.707 0f02 f0 f1f2 — Q = 2- - Q = 5 frecuencia I / I máx
Corriente normalizada de un RLC serie en función de la frecuencia. Con Q = 2 (línea continua) el ancho de banda va de 0.78·f0 a 1.28·f0, es decir, f0/2. Con Q = 5 (línea punteada) la curva es más estrecha.

Ejemplo 1: RLC serie. L = 10 mH, C = 100 nF y R = 10 Ω, alimentados con 1 V RMS.

  1. LC = 0.01 · 100×10−9 = 1×10−9; √(LC) = 3.162×10−5 s.
  2. f0 = 1/(2π · 3.162×10−5) = 5032.9 Hz.
  3. Reactancia en resonancia: XL0 = 2π · 5032.9 · 0.01 = 316.2 Ω (y XC0 también vale 316.2 Ω).
  4. Q = 316.2/10 = 31.6.
  5. BW = f0/Q = 5032.9/31.6 = 159.2 Hz. Comprobación: R/(2πL) = 10/(0.0628) = 159.2 Hz.
  6. Extremos: f1 ≈ 4954 Hz y f2 ≈ 5113 Hz.
  7. Corriente en resonancia: I = 1 V/10 Ω = 0.1 A RMS. Potencia en R: 0.1 W.
  8. Voltaje en el inductor y en el capacitor: 0.1 A · 316.2 Ω = 31.6 V RMS cada uno, Q veces el de la fuente.

El circuito RLC paralelo

Con R, L y C en paralelo conviene trabajar con admitancias (Y = 1/Z), que se suman:

Y = 1/R + j(ωC − 1/(ωL))

La resonancia ocurre en la misma frecuencia, f0 = 1/(2π√(LC)), pero el comportamiento es el inverso del serie: la admitancia es mínima, la impedancia es máxima e igual a R, y la corriente que entrega la fuente es mínima. Por dentro, sin embargo, la energía va y viene entre L y C: la corriente que circula por cada uno es Q veces la de la fuente. Para el paralelo:

Q = R / X0 = R · √(C/L)        BW = f0/Q = 1/(2πRC)

Fíjate en que en el paralelo una R mayor da un Q mayor, al revés que en el serie. Este circuito, llamado circuito tanque, es el que se usa en osciladores y en etapas sintonizadas.

Ejemplo 2: RLC paralelo. Los mismos L = 10 mH y C = 100 nF, ahora en paralelo con R = 10 kΩ y alimentados con 1 V RMS.

  1. f0 = 5032.9 Hz, igual que antes, porque LC no cambió.
  2. Q = 10 000 · √(100×10−9/0.01) = 10 000 · 3.162×10−3 = 31.6.
  3. BW = 1/(2π · 10 000 · 100×10−9) = 159.2 Hz.
  4. Corriente de la fuente en resonancia: solo la de R, 1 V/10 kΩ = 0.1 mA.
  5. Corriente en el inductor: 1 V/316.2 Ω = 3.16 mA, y la misma en el capacitor: 31.6 veces la corriente de la fuente.

En un circuito real el inductor tiene resistencia de alambre en serie, así que el paralelo ideal es una aproximación. Si esa resistencia es pequeña frente a XL0, la frecuencia de resonancia apenas cambia.

Errores comunes

Pruébalo en el simulador

Con el análisis de CA puedes ver el pico de resonancia y medir su ancho de banda directamente en la gráfica.

  1. Coloca una fuente senoidal de 1 V y conecta en serie una resistencia de 10 Ω, un inductor de 10 mH y un capacitor de 100 nF.
  2. Ejecuta un barrido de CA de 1 kHz a 20 kHz con suficientes puntos por década y observa la corriente o el voltaje en la resistencia.
  3. Localiza el pico cerca de 5 kHz y mide las dos frecuencias donde la curva cae 3 dB.
  4. Observa el voltaje en el capacitor en resonancia: debe rondar 31.6 V.
  5. Cambia R a 100 Ω y observa cómo el pico se ensancha y baja, mientras f0 se queda en su lugar.
  6. Arma la versión en paralelo con R = 10 kΩ y comprueba que ahora la impedancia es máxima en f0.

Ejercicios

  1. Calcula f0 para L = 1 mH y C = 10 nF.

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    LC = 1×10−11, √(LC) = 3.162×10−6 s. f0 = 1/(2π · 3.162×10−6) = 50.33 kHz.

  2. Si ese inductor y capacitor forman un RLC serie con R = 5 Ω, ¿cuánto valen Q y el ancho de banda?

    Ver respuesta

    √(L/C) = √(105) = 316.2 Ω, así que Q = 316.2/5 = 63.2. BW = f0/Q = 50 329/63.2 = 796 Hz (también R/(2πL) = 5/0.006283 = 796 Hz).

  3. ¿Qué capacitor necesitas para que un inductor de 100 mH resuene a 1 kHz?

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    C = 1/((2πf0)² · L) = 1/((6283)² · 0.1) = 1/(3.948×106) = 253 nF.

  4. En un RLC serie operando por arriba de f0, ¿el circuito es inductivo o capacitivo? ¿La corriente se adelanta o se atrasa?

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    Por arriba de f0, XL > XC, así que el circuito es inductivo y la corriente se atrasa respecto al voltaje de la fuente.