Filtres RC passe-bas et passe-haut et diagrammes de Bode

7 min de lecture · Équipe bitGateLab

Un filtre laisse passer certaines fréquences et en atténue d'autres. Avec une seule résistance et un condensateur, vous pouvez supprimer le bruit haute fréquence d'un capteur, éliminer la composante continue d'un signal audio ou séparer les graves des aigus. Dans cette leçon, vous apprendrez à calculer la fréquence de coupure des filtres RC passifs, à exprimer leur gain en décibels et à tracer leur diagramme de Bode, le graphique qu'utilisent les ingénieurs pour décrire n'importe quel système en fréquence. Si vous ne maîtrisez pas encore les impédances complexes, révisez d'abord courant alternatif et phaseurs.

Fonction de transfert

La fonction de transfert H relie le phaseur de sortie à celui d'entrée : H = V_out/V_in. C'est un nombre complexe qui dépend de la fréquence. Son module |H| indique de combien le signal est amplifié ou atténué, et son argument de combien il est déphasé. Comme les filtres RC sont des diviseurs de tension à impédances, H s'obtient avec la formule du diviseur.

Filtre passe-bas RC

La résistance est en série avec le signal et le condensateur relie la sortie à la masse. À basse fréquence, le condensateur ne conduit presque pas (X_C grande) et la sortie est presque égale à l'entrée ; à haute fréquence, le condensateur se comporte comme un court-circuit et la sortie tend vers zéro.

H(f) = Z_C / (R + Z_C) = 1 / (1 + j·f/f_c)

f_c = 1 / (2πRC)

|H| = 1 / √(1 + (f/f_c)²)        phase = −arctan(f/f_c)

La fréquence de coupure f_c est celle pour laquelle X_C = R. On y a |H| = 1/√2 = 0.707 et la phase vaut −45°. À cette fréquence, la puissance de sortie est la moitié de celle d'entrée ; c'est pourquoi on l'appelle aussi fréquence de demi-puissance.

Filtre passe-haut RC

Il suffit d'intervertir les composants : le condensateur en série et la résistance entre la sortie et la masse. Le condensateur bloque maintenant le continu et les basses fréquences, et laisse passer les hautes.

H(f) = R / (R + Z_C) = (j·f/f_c) / (1 + j·f/f_c)

|H| = (f/f_c) / √(1 + (f/f_c)²)        phase = 90° − arctan(f/f_c)

La fréquence de coupure se calcule avec la même formule, f_c = 1/(2πRC). À f_c, le module vaut aussi 0.707, mais la phase est de +45° : la sortie est en avance sur l'entrée.

Gain en décibels

Comme les gains des filtres couvrent plusieurs ordres de grandeur, on les exprime en décibels :

G_dB = 20 · log₁₀|H|

\|H\|	G (dB)
2	+6.02
1	0
0.707	−3.01
0.5	−6.02
0.1	−20
0.01	−40

Une valeur négative en dB signifie une atténuation. Chaque facteur 10 en tension équivaut à 20 dB, et chaque facteur 2 à environ 6 dB. C'est pourquoi la fréquence de coupure est aussi appelée « le point à −3 dB ».

Diagramme de Bode

Le diagramme de Bode est formé de deux courbes tracées avec un axe des fréquences en échelle logarithmique : l'une donne le gain en dB et l'autre la phase en degrés. Grâce à l'échelle logarithmique, chaque décade (multiplication de la fréquence par 10) occupe la même largeur.

Pour le passe-bas, le gain s'approche par deux droites appelées asymptotes :

En dessous de f_c : une droite horizontale à 0 dB.
Au-dessus de f_c : une droite qui descend de 20 dB par décade (soit environ 6 dB par octave, c'est-à-dire chaque fois que vous doublez la fréquence).

La courbe réelle s'écarte des asymptotes de 3 dB au maximum, précisément à f_c. Pour la phase, on utilise une autre approximation : 0° jusqu'à f_c/10, une droite qui descend jusqu'à −90° à 10·f_c en passant par −45° à f_c, puis −90° au-delà. L'erreur de cette approximation est inférieure à 6°. Le passe-haut en est l'image miroir : il monte de 20 dB par décade jusqu'à f_c, puis reste à 0 dB, avec une phase qui va de +90° à 0°.

Gain d'un passe-bas RC. Le trait épais est la réponse réelle et le trait pointillé représente les asymptotes : 0 dB jusqu'à f_c, puis −20 dB par décade. L'écart le plus grand, 3 dB, se produit à f_c.

Exemple 1 : analyse. Un filtre a R = 10 kΩ et C = 10 nF. Calculez f_c et la réponse des versions passe-bas et passe-haut à plusieurs fréquences.

f_c = 1/(2π · 10 000 · 10×10⁻⁹) = 1/(6.283×10⁻⁴) = 1591.5 Hz.
À 5 kHz : f/f_c = 3.14. Passe-bas : |H| = 1/√(1 + 9.87) = 0.303, soit −10.36 dB, avec une phase de −72.3°.
Passe-haut à 5 kHz : |H| = 3.14/√(10.87) = 0.953, soit −0.42 dB, avec une phase de +17.7°.

f	Passe-bas (dB)	Phase PB	Passe-haut (dB)	Phase PH
159 Hz (f_c/10)	−0.04	−5.7°	−20.04	+84.3°
1591.5 Hz (f_c)	−3.01	−45°	−3.01	+45°
5 kHz	−10.36	−72.3°	−0.42	+17.7°
15.9 kHz (10 f_c)	−20.04	−84.3°	−0.04	+5.7°
159 kHz (100 f_c)	−40.00	−89.4°	0.00	+0.6°

Observez la symétrie : ce que l'un atténue, l'autre le laisse passer.

Exemple 2 : conception. Vous avez besoin d'un passe-bas avec f_c ≈ 1 kHz et vous disposez d'un condensateur de 100 nF.

Isolez R : R = 1/(2π · f_c · C) = 1/(2π · 1000 · 100×10⁻⁹) = 1591.5 Ω.
La valeur normalisée la plus proche est 1.6 kΩ.
Avec 1.6 kΩ : f_c = 1/(2π · 1600 · 100×10⁻⁹) = 994.7 Hz, à moins de 1 % de l'objectif.

Un détail pratique : ces formules supposent que rien n'est branché sur la sortie. Si vous chargez le filtre avec une résistance comparable à R, le gain dans la bande passante diminue et f_c se déplace. Pour l'éviter, on utilise une charge bien plus grande que R ou un suiveur de tension réalisé avec un amplificateur opérationnel.

Erreurs fréquentes

Utiliser 10·log₁₀ pour des rapports de tensions. Avec les tensions et les courants, on utilise 20·log₁₀ ; 10·log₁₀ est réservé aux puissances.
Croire qu'à f_c le signal disparaît. À f_c, il reste 70.7 % de la tension en sortie ; le filtre atténue progressivement, il ne coupe pas net.
Tracer la fréquence en échelle linéaire : les asymptotes ne sont plus des droites et la pente de −20 dB/décade ne se voit plus.
Oublier la charge branchée sur la sortie, qui modifie la fréquence de coupure réelle.
Confondre la phase du passe-haut (positive, de +90° à 0°) avec celle du passe-bas (négative, de 0° à −90°).

Essayez dans le simulateur

L'analyse CA du simulateur balaie la fréquence et trace le gain et la phase : vous pouvez ainsi comparer la courbe à vos asymptotes tracées à la main.

Placez une source sinusoïdale, une résistance de 10 kΩ et un condensateur de 10 nF de façon à former un passe-bas.
Lancez un balayage CA de 10 Hz à 1 MHz avec un axe logarithmique et observez la sortie.
Repérez le point à −3 dB et vérifiez qu'il se trouve près de 1591 Hz et que la phase y vaut −45°.
Mesurez la chute entre 15.9 kHz et 159 kHz : elle doit être d'environ 20 dB.
Intervertissez R et C pour former le passe-haut et refaites le balayage.
Branchez une résistance de charge de 10 kΩ sur la sortie et observez comment la courbe change.

Exercices

Calculez la fréquence de coupure d'un filtre RC avec R = 4.7 kΩ et C = 100 nF.

Voir la réponse
f_c = 1/(2π · 4700 · 100×10⁻⁹) = 1/(2.953×10⁻³) = 338.6 Hz.
Un filtre laisse passer le quart de la tension d'entrée. Quel est son gain en dB ?

Voir la réponse
G = 20 · log₁₀(0.25) = −12.04 dB.
Un passe-bas RC reçoit un signal de fréquence 2·f_c. Trouvez |H| en dB et la phase.

Voir la réponse
|H| = 1/√(1 + 4) = 0.447, ce qui donne 20·log₁₀(0.447) = −6.99 dB. Phase = −arctan(2) = −63.4°.
Avec R = 10 kΩ et C = 10 nF en configuration passe-haut, de combien un signal de 159 Hz est-il atténué ?

Voir la réponse
f/f_c = 159.15/1591.5 = 0.1. |H| = 0.1/√(1.01) = 0.0995, ce qui équivaut à −20.04 dB, avec une phase de +84.3°. Une décade en dessous de la coupure, le passe-haut atténue d'environ 20 dB.