Impara › Argomento 8

Filtri RC passa-basso e passa-alto e diagrammi di Bode

7 min di lettura · Team bitGateLab

Un filtro lascia passare alcune frequenze e ne attenua altre. Con un solo resistore e un condensatore puoi togliere il rumore ad alta frequenza da un sensore, eliminare la componente continua di un segnale audio o separare i bassi dagli acuti. In questo argomento imparerai a calcolare la frequenza di taglio dei filtri RC passivi, a esprimerne il guadagno in decibel e a tracciarne il diagramma di Bode, il grafico che gli ingegneri usano per descrivere qualsiasi sistema in frequenza. Se non hai ancora dimestichezza con le impedenze complesse, ripassa prima corrente alternata e fasori.

Funzione di trasferimento

La funzione di trasferimento H mette in relazione il fasore di uscita con quello di ingresso: H = V_out/V_in. È un numero complesso che dipende dalla frequenza. Il suo modulo |H| dice di quanto il segnale viene amplificato o attenuato e il suo angolo dice di quanto viene sfasato. Poiché i filtri RC sono partitori di tensione con impedenze, H si ricava con la formula del partitore.

Filtro passa-basso RC

Il resistore è in serie al segnale e il condensatore va dall'uscita a massa. A bassa frequenza il condensatore quasi non conduce (X_C grande) e l'uscita è quasi uguale all'ingresso; ad alta frequenza il condensatore si comporta come un cortocircuito e l'uscita tende a zero.

H(f) = Z_C / (R + Z_C) = 1 / (1 + j·f/f_c)

f_c = 1 / (2πRC)

|H| = 1 / √(1 + (f/f_c)²)        fase = −arctan(f/f_c)

La frequenza di taglio f_c è quella in cui X_C = R. Lì |H| = 1/√2 = 0.707 e la fase vale −45°. A questa frequenza la potenza in uscita è la metà di quella in ingresso, per questo è detta anche frequenza di metà potenza.

Filtro passa-alto RC

Basta scambiare i componenti: il condensatore in serie e il resistore dall'uscita a massa. Ora il condensatore blocca la componente continua e le basse frequenze, e lascia passare quelle alte.

H(f) = R / (R + Z_C) = (j·f/f_c) / (1 + j·f/f_c)

|H| = (f/f_c) / √(1 + (f/f_c)²)        fase = 90° − arctan(f/f_c)

La frequenza di taglio si calcola con la stessa formula, f_c = 1/(2πRC). A f_c il modulo vale ancora 0.707, ma la fase è di +45°: l'uscita è in anticipo sull'ingresso.

Guadagno in decibel

Poiché i guadagni dei filtri coprono molti ordini di grandezza, si esprimono in decibel:

G_dB = 20 · log₁₀|H|

\|H\|	G (dB)
2	+6.02
1	0
0.707	−3.01
0.5	−6.02
0.1	−20
0.01	−40

Un valore negativo in dB significa attenuazione. Ogni fattore 10 in tensione equivale a 20 dB, e ogni fattore 2 a circa 6 dB. Per questo la frequenza di taglio è nota come «il punto a −3 dB».

Diagramma di Bode

Il diagramma di Bode è formato da due grafici con l'asse delle frequenze in scala logaritmica: uno del modulo in dB e uno della fase in gradi. La scala logaritmica fa sì che ogni decade (moltiplicare la frequenza per 10) occupi lo stesso spazio.

Per il passa-basso, il modulo si approssima con due rette dette asintoti:

Al di sotto di f_c: una retta orizzontale a 0 dB.
Al di sopra di f_c: una retta che scende di 20 dB per decade (equivale a circa 6 dB per ottava, cioè ogni volta che raddoppi la frequenza).

La curva reale si discosta dagli asintoti al massimo di 3 dB, proprio a f_c. Per la fase si usa un'altra approssimazione: 0° fino a f_c/10, una retta che scende fino a −90° a 10·f_c passando per −45° a f_c, e −90° da lì in poi. L'errore di questa approssimazione è inferiore a 6°. Il passa-alto è l'immagine speculare: sale di 20 dB per decade fino a f_c e poi resta a 0 dB, con una fase che va da +90° a 0°.

Modulo di un passa-basso RC. La linea spessa è la risposta reale e quella tratteggiata rappresenta gli asintoti: 0 dB fino a f_c e poi −20 dB per decade. Lo scarto maggiore, 3 dB, si ha a f_c.

Esempio 1: analisi. Un filtro ha R = 10 kΩ e C = 10 nF. Calcola f_c e la risposta delle versioni passa-basso e passa-alto a varie frequenze.

f_c = 1/(2π · 10 000 · 10×10⁻⁹) = 1/(6.283×10⁻⁴) = 1591.5 Hz.
A 5 kHz: f/f_c = 3.14. Passa-basso: |H| = 1/√(1 + 9.87) = 0.303, cioè −10.36 dB, con fase −72.3°.
Passa-alto a 5 kHz: |H| = 3.14/√(10.87) = 0.953, cioè −0.42 dB, con fase +17.7°.

f	Passa-basso (dB)	Fase PB	Passa-alto (dB)	Fase PA
159 Hz (f_c/10)	−0.04	−5.7°	−20.04	+84.3°
1591.5 Hz (f_c)	−3.01	−45°	−3.01	+45°
5 kHz	−10.36	−72.3°	−0.42	+17.7°
15.9 kHz (10 f_c)	−20.04	−84.3°	−0.04	+5.7°
159 kHz (100 f_c)	−40.00	−89.4°	0.00	+0.6°

Nota la simmetria: ciò che uno attenua, l'altro lo lascia passare.

Esempio 2: progetto. Ti serve un passa-basso con f_c ≈ 1 kHz e hai un condensatore da 100 nF.

Ricava R: R = 1/(2π · f_c · C) = 1/(2π · 1000 · 100×10⁻⁹) = 1591.5 Ω.
Il valore commerciale più vicino è 1.6 kΩ.
Con 1.6 kΩ: f_c = 1/(2π · 1600 · 100×10⁻⁹) = 994.7 Hz, a meno dell'1 % dall'obiettivo.

Un dettaglio pratico: queste formule presuppongono che all'uscita non sia collegato nulla. Se carichi il filtro con una resistenza paragonabile a R, il guadagno in banda passante diminuisce e f_c si sposta. Per evitarlo si usa un carico molto maggiore di R oppure un inseguitore di tensione realizzato con un amplificatore operazionale.

Errori comuni

Usare 10·log₁₀ per i rapporti di tensione. Con tensioni e correnti si usa 20·log₁₀; 10·log₁₀ vale per le potenze.
Pensare che a f_c il segnale scompaia. A f_c esce il 70.7 % della tensione; il filtro attenua gradualmente, non taglia di netto.
Rappresentare la frequenza in scala lineare: gli asintoti non sono più rette e la pendenza di −20 dB/decade non si riconosce.
Dimenticare il carico collegato all'uscita, che modifica la frequenza di taglio reale.
Confondere la fase del passa-alto (positiva, da +90° a 0°) con quella del passa-basso (negativa, da 0° a −90°).

Provalo nel simulatore

L'analisi in CA del simulatore fa variare la frequenza e traccia il modulo e la fase, così puoi confrontare la curva con i tuoi asintoti disegnati a mano.

Inserisci una sorgente sinusoidale, un resistore da 10 kΩ e un condensatore da 10 nF in modo da formare un passa-basso.
Esegui uno sweep in CA da 10 Hz a 1 MHz con asse logaritmico e osserva l'uscita.
Individua il punto a −3 dB e verifica che sia vicino a 1591 Hz e che lì la fase sia −45°.
Misura l'attenuazione tra 15.9 kHz e 159 kHz: deve essere di circa 20 dB.
Scambia R e C per formare il passa-alto e ripeti lo sweep.
Collega un resistore di carico da 10 kΩ all'uscita e osserva come cambia la curva.

Esercizi

Calcola la frequenza di taglio di un filtro RC con R = 4.7 kΩ e C = 100 nF.

Mostra la soluzione
f_c = 1/(2π · 4700 · 100×10⁻⁹) = 1/(2.953×10⁻³) = 338.6 Hz.
Un filtro lascia passare un quarto della tensione di ingresso. Qual è il suo guadagno in dB?

Mostra la soluzione
G = 20 · log₁₀(0.25) = −12.04 dB.
Un passa-basso RC riceve un segnale di frequenza 2·f_c. Trova |H| in dB e la fase.

Mostra la soluzione
|H| = 1/√(1 + 4) = 0.447, che dà 20·log₁₀(0.447) = −6.99 dB. Fase = −arctan(2) = −63.4°.
Con R = 10 kΩ e C = 10 nF in configurazione passa-alto, di quanto viene attenuato un segnale a 159 Hz?

Mostra la soluzione
f/f_c = 159.15/1591.5 = 0.1. |H| = 0.1/√(1.01) = 0.0995, che equivale a −20.04 dB, con fase +84.3°. Una decade al di sotto del taglio, il passa-alto attenua circa 20 dB.