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학습 › 주제 8

RC 저역 통과·고역 통과 필터와 보드 선도

읽는 시간 7분 · bitGateLab 팀

필터는 어떤 주파수는 통과시키고 다른 주파수는 감쇠시킵니다. 저항 하나와 커패시터 하나만으로 센서의 고주파 잡음을 제거하거나, 오디오 신호의 DC 성분을 없애거나, 저음과 고음을 분리할 수 있습니다. 이 주제에서는 수동 RC 필터의 차단 주파수를 계산하고, 이득을 데시벨로 나타내고, 엔지니어들이 주파수 영역에서 시스템을 설명할 때 사용하는 그래프인 보드 선도(Bode plot)를 그리는 방법을 배웁니다. 복소 임피던스가 아직 익숙하지 않다면 먼저 교류와 페이저를 복습하세요.

전달 함수

전달 함수 H는 출력 페이저와 입력 페이저의 관계를 나타냅니다: H = Vout/Vin. 주파수에 따라 달라지는 복소수입니다. 크기 |H|는 신호가 얼마나 증폭되거나 감쇠되는지를, 각도는 위상이 얼마나 변하는지를 알려 줍니다. RC 필터는 임피던스로 이루어진 전압 분배기이므로 H는 분배기 공식으로 구합니다.

RC 저역 통과 필터

저항은 신호와 직렬로, 커패시터는 출력과 접지 사이에 연결합니다. 낮은 주파수에서는 커패시터가 거의 도통하지 않아(XC가 큼) 출력이 입력과 거의 같고, 높은 주파수에서는 커패시터가 단락처럼 동작해 출력이 0으로 떨어집니다.

H(f) = ZC / (R + ZC) = 1 / (1 + j·f/fc)

fc = 1 / (2πRC)

|H| = 1 / √(1 + (f/fc)²)        위상 = −arctan(f/fc)

여기서 차단 주파수 fc는 XC = R이 되는 주파수입니다. 그곳에서 |H| = 1/√2 = 0.707이고 위상은 −45°입니다. 이 주파수에서 출력 전력은 입력 전력의 절반이므로 반전력 주파수라고도 부릅니다.

RC 고역 통과 필터

두 소자의 자리를 바꾸기만 하면 됩니다. 커패시터를 직렬로, 저항을 출력과 접지 사이에 둡니다. 이제 커패시터는 DC와 낮은 주파수를 막고 높은 주파수를 통과시킵니다.

H(f) = R / (R + ZC) = (j·f/fc) / (1 + j·f/fc)

|H| = (f/fc) / √(1 + (f/fc)²)        위상 = 90° − arctan(f/fc)

차단 주파수는 같은 공식 fc = 1/(2πRC)로 계산합니다. fc에서 크기는 마찬가지로 0.707이지만 위상은 +45°입니다. 즉, 출력이 입력보다 앞섭니다.

데시벨로 나타낸 이득

필터의 이득은 여러 자릿수에 걸쳐 변하므로 데시벨로 나타냅니다.

GdB = 20 · log10|H|
|H|G (dB)
2+6.02
10
0.707−3.01
0.5−6.02
0.1−20
0.01−40
dB 값이 음수이면 감쇠를 뜻합니다. 전압이 10배가 될 때마다 20 dB, 2배가 될 때마다 약 6 dB에 해당합니다. 그래서 차단 주파수를 "−3 dB 지점"이라고 부릅니다.

보드 선도

보드 선도는 주파수 축을 로그 스케일로 그린 두 개의 그래프로, 하나는 dB 단위의 크기, 다른 하나는 도 단위의 위상입니다. 로그 스케일에서는 각 디케이드(주파수를 10배 하는 구간)가 같은 폭을 차지합니다.

저역 통과 필터의 크기는 점근선이라고 부르는 두 직선으로 근사합니다.

실제 곡선은 점근선에서 최대 3 dB 벗어나며, 바로 fc에서 그렇습니다. 위상에는 다른 근사를 사용합니다. fc/10까지는 0°, 그다음은 fc에서 −45°를 지나 10·fc에서 −90°까지 내려가는 직선, 그 이후로는 −90°입니다. 이 근사의 오차는 6° 미만입니다. 고역 통과 필터는 거울상입니다. fc까지 디케이드당 20 dB씩 올라간 뒤 0 dB에 머물며, 위상은 +90°에서 0°로 변합니다.

fc에서 −3 dB −20 dB/디케이드 0−10−20−30−40 fc/100fc/10fc10 fc100 fc dB 주파수 (로그 스케일)
RC 저역 통과 필터의 크기. 굵은 선은 실제 응답이고 점선은 점근선으로, fc까지는 0 dB, 그 뒤로는 디케이드당 −20 dB입니다. 가장 큰 차이인 3 dB는 fc에서 나타납니다.

예제 1: 해석. 어떤 필터가 R = 10 kΩ, C = 10 nF입니다. fc와, 여러 주파수에서 저역 통과형과 고역 통과형의 응답을 구하세요.

  1. fc = 1/(2π · 10 000 · 10×10−9) = 1/(6.283×10−4) = 1591.5 Hz.
  2. 5 kHz에서: f/fc = 3.14. 저역 통과: |H| = 1/√(1 + 9.87) = 0.303, 즉 −10.36 dB이고 위상은 −72.3°입니다.
  3. 5 kHz에서의 고역 통과: |H| = 3.14/√(10.87) = 0.953, 즉 −0.42 dB이고 위상은 +17.7°입니다.
f저역 통과 (dB)위상 (저역)고역 통과 (dB)위상 (고역)
159 Hz (fc/10)−0.04−5.7°−20.04+84.3°
1591.5 Hz (fc)−3.01−45°−3.01+45°
5 kHz−10.36−72.3°−0.42+17.7°
15.9 kHz (10 fc)−20.04−84.3°−0.04+5.7°
159 kHz (100 fc)−40.00−89.4°0.00+0.6°

대칭성에 주목하세요. 한쪽이 감쇠시키는 것을 다른 쪽은 통과시킵니다.

예제 2: 설계. fc ≈ 1 kHz인 저역 통과 필터가 필요하고, 100 nF 커패시터가 있습니다.

  1. R을 구합니다: R = 1/(2π · fc · C) = 1/(2π · 1000 · 100×10−9) = 1591.5 Ω.
  2. 가장 가까운 표준값은 1.6 kΩ입니다.
  3. 1.6 kΩ을 쓰면: fc = 1/(2π · 1600 · 100×10−9) = 994.7 Hz로, 목표값과의 차이가 1 % 미만입니다.

실용적인 주의점 하나: 이 공식들은 출력에 아무것도 연결되지 않았다고 가정합니다. R과 비슷한 크기의 저항을 필터의 부하로 연결하면 통과 대역의 이득이 내려가고 fc가 이동합니다. 이를 피하려면 R보다 훨씬 큰 부하를 사용하거나 연산 증폭기로 만든 전압 팔로워를 사용합니다.

흔히 하는 실수

시뮬레이터에서 직접 해 보기

시뮬레이터의 AC 해석은 주파수를 스윕하면서 크기와 위상을 그려 주므로, 손으로 그린 점근선과 곡선을 비교할 수 있습니다.

  1. 정현파 전원, 10 kΩ 저항, 10 nF 커패시터를 배치해 저역 통과 필터를 구성합니다.
  2. 로그 축으로 10 Hz에서 1 MHz까지 AC 스윕을 실행하고 출력을 관찰합니다.
  3. −3 dB 지점을 찾아 1591 Hz 근처인지, 그리고 그곳의 위상이 −45°인지 확인합니다.
  4. 15.9 kHz와 159 kHz 사이의 감쇠를 측정합니다. 약 20 dB여야 합니다.
  5. R과 C의 자리를 바꿔 고역 통과 필터를 만들고 스윕을 반복합니다.
  6. 출력에 10 kΩ 부하 저항을 연결하고 곡선이 어떻게 변하는지 관찰합니다.

연습 문제

  1. R = 4.7 kΩ, C = 100 nF인 RC 필터의 차단 주파수를 구하세요.

    정답 보기

    fc = 1/(2π · 4700 · 100×10−9) = 1/(2.953×10−3) = 338.6 Hz.

  2. 어떤 필터가 입력 전압의 사분의 일을 통과시킵니다. dB로 나타낸 이득은 얼마일까요?

    정답 보기

    G = 20 · log10(0.25) = −12.04 dB.

  3. RC 저역 통과 필터에 주파수가 2·fc인 신호가 들어옵니다. dB로 나타낸 |H|와 위상을 구하세요.

    정답 보기

    |H| = 1/√(1 + 4) = 0.447이고, 이는 20·log10(0.447) = −6.99 dB입니다. 위상 = −arctan(2) = −63.4°.

  4. R = 10 kΩ, C = 10 nF인 고역 통과 구성에서 159 Hz 신호는 얼마나 감쇠될까요?

    정답 보기

    f/fc = 159.15/1591.5 = 0.1. |H| = 0.1/√(1.01) = 0.0995이고, 이는 −20.04 dB에 해당하며 위상은 +84.3°입니다. 차단 주파수보다 한 디케이드 아래에서 고역 통과 필터는 약 20 dB를 감쇠시킵니다.