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Filtros RC passa-baixas e passa-altas e diagramas de Bode

Leitura de 7 min · Equipe bitGateLab

Um filtro deixa passar algumas frequências e atenua outras. Com um único resistor e um capacitor você pode remover o ruído de alta frequência de um sensor, eliminar o nível CC de um sinal de áudio ou separar graves de agudos. Neste tema você aprenderá a calcular a frequência de corte dos filtros RC passivos, a expressar seu ganho em decibéis e a traçar seu diagrama de Bode, o gráfico que os engenheiros usam para descrever qualquer sistema em frequência. Se você ainda não domina impedâncias complexas, revise primeiro corrente alternada e fasores.

Função de transferência

A função de transferência H relaciona o fasor de saída com o de entrada: H = V_out/V_in. É um número complexo que depende da frequência. Sua magnitude |H| diz o quanto o sinal é amplificado ou atenuado, e seu ângulo diz o quanto ele é defasado. Como os filtros RC são divisores de tensão com impedâncias, H é obtida com a fórmula do divisor.

Filtro passa-baixas RC

O resistor fica em série com o sinal e o capacitor vai da saída ao terra. Em baixa frequência o capacitor quase não conduz (X_C grande) e a saída é quase igual à entrada; em alta frequência o capacitor se comporta como um curto e a saída vai a zero.

H(f) = Z_C / (R + Z_C) = 1 / (1 + j·f/f_c)

f_c = 1 / (2πRC)

|H| = 1 / √(1 + (f/f_c)²)        fase = −arctan(f/f_c)

A frequência de corte f_c é aquela em que X_C = R. Nela, |H| = 1/√2 = 0.707 e a fase vale −45°. Nessa frequência a potência de saída é metade da de entrada, por isso ela também é chamada de frequência de meia potência.

Filtro passa-altas RC

Basta trocar os componentes de lugar: o capacitor em série e o resistor da saída ao terra. Agora o capacitor bloqueia a CC e as frequências baixas, e deixa passar as altas.

H(f) = R / (R + Z_C) = (j·f/f_c) / (1 + j·f/f_c)

|H| = (f/f_c) / √(1 + (f/f_c)²)        fase = 90° − arctan(f/f_c)

A frequência de corte é calculada com a mesma fórmula, f_c = 1/(2πRC). Em f_c a magnitude também é 0.707, mas a fase é de +45°: a saída está adiantada em relação à entrada.

Ganho em decibéis

Como os ganhos dos filtros abrangem muitas ordens de grandeza, eles são expressos em decibéis:

G_dB = 20 · log₁₀|H|

\|H\|	G (dB)
2	+6.02
1	0
0.707	−3.01
0.5	−6.02
0.1	−20
0.01	−40

Um valor negativo em dB significa atenuação. Cada fator de 10 em tensão equivale a 20 dB, e cada fator de 2 a cerca de 6 dB. Por isso a frequência de corte é conhecida como "o ponto de −3 dB".

Diagrama de Bode

O diagrama de Bode são dois gráficos com o eixo de frequência em escala logarítmica: um de magnitude em dB e outro de fase em graus. A escala logarítmica faz com que cada década (multiplicar a frequência por 10) ocupe o mesmo espaço.

Para o passa-baixas, a magnitude é aproximada por duas retas chamadas assíntotas:

Abaixo de f_c: uma reta horizontal em 0 dB.
Acima de f_c: uma reta que cai 20 dB por década (equivale a cerca de 6 dB por oitava, isto é, a cada vez que você dobra a frequência).

A curva real se afasta das assíntotas no máximo 3 dB, exatamente em f_c. Para a fase usa-se outra aproximação: 0° até f_c/10, uma reta que desce até −90° em 10·f_c passando por −45° em f_c, e −90° daí em diante. O erro dessa aproximação é menor que 6°. O passa-altas é a imagem espelhada: sobe 20 dB por década até f_c e depois fica em 0 dB, com uma fase que vai de +90° a 0°.

Magnitude de um passa-baixas RC. A linha grossa é a resposta real e a tracejada são as assíntotas: 0 dB até f_c e depois −20 dB por década. A maior diferença, 3 dB, ocorre em f_c.

Exemplo 1: análise. Um filtro tem R = 10 kΩ e C = 10 nF. Calcule f_c e a resposta das versões passa-baixas e passa-altas em várias frequências.

f_c = 1/(2π · 10 000 · 10×10⁻⁹) = 1/(6.283×10⁻⁴) = 1591.5 Hz.
Em 5 kHz: f/f_c = 3.14. Passa-baixas: |H| = 1/√(1 + 9.87) = 0.303, ou seja, −10.36 dB, com fase de −72.3°.
Passa-altas em 5 kHz: |H| = 3.14/√(10.87) = 0.953, ou seja, −0.42 dB, com fase de +17.7°.

f	Passa-baixas (dB)	Fase PB	Passa-altas (dB)	Fase PA
159 Hz (f_c/10)	−0.04	−5.7°	−20.04	+84.3°
1591.5 Hz (f_c)	−3.01	−45°	−3.01	+45°
5 kHz	−10.36	−72.3°	−0.42	+17.7°
15.9 kHz (10 f_c)	−20.04	−84.3°	−0.04	+5.7°
159 kHz (100 f_c)	−40.00	−89.4°	0.00	+0.6°

Observe a simetria: o que um atenua, o outro deixa passar.

Exemplo 2: projeto. Você precisa de um passa-baixas com f_c ≈ 1 kHz e tem um capacitor de 100 nF.

Isole R: R = 1/(2π · f_c · C) = 1/(2π · 1000 · 100×10⁻⁹) = 1591.5 Ω.
O valor comercial mais próximo é 1.6 kΩ.
Com 1.6 kΩ: f_c = 1/(2π · 1600 · 100×10⁻⁹) = 994.7 Hz, a menos de 1 % do objetivo.

Um detalhe prático: essas fórmulas supõem que nada está ligado à saída. Se você carregar o filtro com uma resistência comparável a R, o ganho na banda de passagem diminui e f_c se desloca. Para evitar isso, usa-se uma carga muito maior que R ou um seguidor de tensão com um amplificador operacional.

Erros comuns

Usar 10·log₁₀ para razões de tensão. Com tensões e correntes usa-se 20·log₁₀; 10·log₁₀ é para potências.
Achar que em f_c o sinal desaparece. Em f_c saem 70.7 % da tensão; o filtro atenua aos poucos, não corta de uma vez.
Traçar a frequência em escala linear: as assíntotas deixam de ser retas e a inclinação de −20 dB/década não fica visível.
Esquecer a carga ligada à saída, que altera a frequência de corte real.
Confundir a fase do passa-altas (positiva, de +90° a 0°) com a do passa-baixas (negativa, de 0° a −90°).

Experimente no simulador

A análise CA do simulador varre a frequência e traça a magnitude e a fase, de modo que você pode comparar a curva com as assíntotas que desenhou à mão.

Coloque uma fonte senoidal, um resistor de 10 kΩ e um capacitor de 10 nF formando um passa-baixas.
Execute uma varredura CA de 10 Hz a 1 MHz com eixo logarítmico e observe a saída.
Localize o ponto de −3 dB e verifique que ele está perto de 1591 Hz e que a fase ali é −45°.
Meça a queda entre 15.9 kHz e 159 kHz: deve ser de uns 20 dB.
Troque R e C de lugar para formar o passa-altas e repita a varredura.
Ligue um resistor de carga de 10 kΩ à saída e observe como a curva muda.

Exercícios

Calcule a frequência de corte de um filtro RC com R = 4.7 kΩ e C = 100 nF.

Ver resposta
f_c = 1/(2π · 4700 · 100×10⁻⁹) = 1/(2.953×10⁻³) = 338.6 Hz.
Um filtro deixa passar a quarta parte da tensão de entrada. Qual é o seu ganho em dB?

Ver resposta
G = 20 · log₁₀(0.25) = −12.04 dB.
Um passa-baixas RC recebe um sinal de frequência 2·f_c. Encontre |H| em dB e a fase.

Ver resposta
|H| = 1/√(1 + 4) = 0.447, o que dá 20·log₁₀(0.447) = −6.99 dB. Fase = −arctan(2) = −63.4°.
Com R = 10 kΩ e C = 10 nF na configuração passa-altas, quanto é atenuado um sinal de 159 Hz?

Ver resposta
f/f_c = 159.15/1591.5 = 0.1. |H| = 0.1/√(1.01) = 0.0995, o que equivale a −20.04 dB, com fase de +84.3°. Uma década abaixo do corte, o passa-altas atenua uns 20 dB.