RC-фильтры нижних и верхних частот и диаграммы Боде

7 мин чтения · Команда bitGateLab

Фильтр пропускает одни частоты и ослабляет другие. С помощью одного резистора и одного конденсатора можно убрать высокочастотный шум датчика, устранить постоянную составляющую звукового сигнала или разделить низкие и высокие частоты. В этой теме вы научитесь рассчитывать частоту среза пассивных RC-фильтров, выражать их коэффициент передачи в децибелах и строить диаграмму Боде — график, которым инженеры описывают любую систему в частотной области. Если вы ещё не освоили комплексные сопротивления, сначала повторите тему переменный ток и фазоры.

Передаточная функция

Передаточная функция H связывает выходной фазор со входным: H = V_out/V_in. Это комплексное число, зависящее от частоты. Его модуль |H| показывает, во сколько раз сигнал усиливается или ослабляется, а аргумент — на сколько сдвигается фаза. Поскольку RC-фильтры — это делители напряжения из импедансов, H находят по формуле делителя.

RC-фильтр нижних частот (ФНЧ)

Резистор включён последовательно с сигналом, а конденсатор — между выходом и землёй. На низкой частоте конденсатор почти не проводит (X_C велико), и выходное напряжение почти равно входному; на высокой частоте конденсатор ведёт себя как короткое замыкание, и выходное напряжение стремится к нулю.

H(f) = Z_C / (R + Z_C) = 1 / (1 + j·f/f_c)

f_c = 1 / (2πRC)

|H| = 1 / √(1 + (f/f_c)²)        фаза = −arctg(f/f_c)

Частота среза f_c — это частота, на которой X_C = R. На ней |H| = 1/√2 = 0.707, а фаза равна −45°. На этой частоте выходная мощность вдвое меньше входной, поэтому её называют также частотой половинной мощности.

RC-фильтр верхних частот (ФВЧ)

Достаточно поменять компоненты местами: конденсатор — последовательно, резистор — между выходом и землёй. Теперь конденсатор не пропускает постоянную составляющую и низкие частоты, а высокие пропускает.

H(f) = R / (R + Z_C) = (j·f/f_c) / (1 + j·f/f_c)

|H| = (f/f_c) / √(1 + (f/f_c)²)        фаза = 90° − arctg(f/f_c)

Частота среза вычисляется по той же формуле, f_c = 1/(2πRC). На f_c модуль тоже равен 0.707, но фаза составляет +45°: выходной сигнал опережает входной.

Коэффициент передачи в децибелах

Поскольку коэффициенты передачи фильтров охватывают много порядков величины, их выражают в децибелах:

G_dB = 20 · log₁₀|H|

\|H\|	G (dB)
2	+6.02
1	0
0.707	−3.01
0.5	−6.02
0.1	−20
0.01	−40

Отрицательное значение в dB означает ослабление. Изменение напряжения в 10 раз соответствует 20 dB, а в 2 раза — примерно 6 dB. Поэтому частоту среза называют «точкой −3 dB».

Диаграмма Боде

Диаграмма Боде — это два графика с логарифмической осью частоты: амплитудный в dB (ЛАЧХ) и фазовый в градусах (ЛФЧХ). Благодаря логарифмической шкале каждая декада (умножение частоты на 10) занимает одинаковое место.

Для фильтра нижних частот амплитудную характеристику аппроксимируют двумя прямыми — асимптотами:

Ниже f_c: горизонтальная прямая на уровне 0 dB.
Выше f_c: прямая, спадающая на 20 dB на декаду (это примерно 6 dB на октаву, то есть при каждом удвоении частоты).

Реальная кривая отклоняется от асимптот не более чем на 3 dB — как раз на f_c. Для фазы используют другую аппроксимацию: 0° до f_c/10, прямая, опускающаяся до −90° на 10·f_c и проходящая через −45° на f_c, и −90° далее. Погрешность этой аппроксимации меньше 6°. Фильтр верхних частот — зеркальное отражение: характеристика растёт на 20 dB на декаду до f_c, а затем остаётся на 0 dB, а фаза меняется от +90° до 0°.

Амплитудная характеристика RC-фильтра нижних частот. Толстая линия — реальная характеристика, штриховая — асимптоты: 0 dB до f_c, затем −20 dB на декаду. Наибольшее расхождение, 3 dB, приходится на f_c.

Пример 1: анализ. В фильтре R = 10 kΩ и C = 10 nF. Найдите f_c и отклик вариантов ФНЧ и ФВЧ на нескольких частотах.

f_c = 1/(2π · 10 000 · 10×10⁻⁹) = 1/(6.283×10⁻⁴) = 1591.5 Hz.
На 5 kHz: f/f_c = 3.14. ФНЧ: |H| = 1/√(1 + 9.87) = 0.303, то есть −10.36 dB, фаза −72.3°.
ФВЧ на 5 kHz: |H| = 3.14/√(10.87) = 0.953, то есть −0.42 dB, фаза +17.7°.

f	ФНЧ (dB)	Фаза ФНЧ	ФВЧ (dB)	Фаза ФВЧ
159 Hz (f_c/10)	−0.04	−5.7°	−20.04	+84.3°
1591.5 Hz (f_c)	−3.01	−45°	−3.01	+45°
5 kHz	−10.36	−72.3°	−0.42	+17.7°
15.9 kHz (10 f_c)	−20.04	−84.3°	−0.04	+5.7°
159 kHz (100 f_c)	−40.00	−89.4°	0.00	+0.6°

Обратите внимание на симметрию: то, что один фильтр ослабляет, другой пропускает.

Пример 2: проектирование. Нужен фильтр нижних частот с f_c ≈ 1 kHz, и у вас есть конденсатор 100 nF.

Выразите R: R = 1/(2π · f_c · C) = 1/(2π · 1000 · 100×10⁻⁹) = 1591.5 Ω.
Ближайший стандартный номинал — 1.6 kΩ.
При 1.6 kΩ: f_c = 1/(2π · 1600 · 100×10⁻⁹) = 994.7 Hz — отклонение от цели меньше 1 %.

Практическая деталь: эти формулы предполагают, что к выходу ничего не подключено. Если нагрузить фильтр сопротивлением, сравнимым с R, коэффициент передачи в полосе пропускания уменьшится, а f_c сместится. Чтобы этого избежать, используют нагрузку с сопротивлением намного больше R или повторитель напряжения на операционном усилителе.

Типичные ошибки

Использовать 10·log₁₀ для отношений напряжений. Для напряжений и токов берут 20·log₁₀; 10·log₁₀ — для мощностей.
Думать, что на f_c сигнал исчезает. На f_c на выходе остаётся 70.7 % напряжения; фильтр ослабляет постепенно, а не обрезает резко.
Строить график с линейной шкалой частоты: асимптоты перестают быть прямыми, и наклон −20 dB на декаду не виден.
Забывать о нагрузке, подключённой к выходу: она изменяет реальную частоту среза.
Путать фазу фильтра верхних частот (положительная, от +90° до 0°) с фазой фильтра нижних частот (отрицательная, от 0° до −90°).

Попробуйте в симуляторе

Анализ по переменному току в симуляторе проходит по диапазону частот и строит амплитуду и фазу, так что кривую можно сравнить с асимптотами, нарисованными от руки.

Поставьте синусоидальный источник, резистор 10 kΩ и конденсатор 10 nF, собрав фильтр нижних частот.
Запустите частотную развёртку от 10 Hz до 1 MHz с логарифмической осью и наблюдайте выход.
Найдите точку −3 dB и убедитесь, что она близка к 1591 Hz, а фаза в ней равна −45°.
Измерьте спад между 15.9 kHz и 159 kHz: должно получиться около 20 dB.
Поменяйте R и C местами, чтобы получить фильтр верхних частот, и повторите развёртку.
Подключите к выходу нагрузочный резистор 10 kΩ и посмотрите, как изменится кривая.

Упражнения

Найдите частоту среза RC-фильтра с R = 4.7 kΩ и C = 100 nF.

Показать ответ
f_c = 1/(2π · 4700 · 100×10⁻⁹) = 1/(2.953×10⁻³) = 338.6 Hz.
Фильтр пропускает четверть входного напряжения. Каков его коэффициент передачи в dB?

Показать ответ
G = 20 · log₁₀(0.25) = −12.04 dB.
На RC-фильтр нижних частот подан сигнал с частотой 2·f_c. Найдите |H| в dB и фазу.

Показать ответ
|H| = 1/√(1 + 4) = 0.447, что даёт 20·log₁₀(0.447) = −6.99 dB. Фаза = −arctg(2) = −63.4°.
При R = 10 kΩ и C = 10 nF в схеме фильтра верхних частот насколько ослабляется сигнал 159 Hz?

Показать ответ
f/f_c = 159.15/1591.5 = 0.1. |H| = 0.1/√(1.01) = 0.0995, что соответствует −20.04 dB, фаза +84.3°. На декаду ниже частоты среза фильтр верхних частот ослабляет сигнал примерно на 20 dB.