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RC 低通与高通滤波器及伯德图
阅读约 7 分钟 · bitGateLab 团队
滤波器让一些频率通过，而衰减另一些频率。只用一个电阻和一个电容，就可以滤除传感器信号中的高频噪声、去掉音频信号中的直流分量，或者把低音和高音分开。本课将带你学会计算无源 RC 滤波器的截止频率、用分贝表示增益，并绘制伯德图——工程师用来描述任何系统频率特性的图。如果你还不熟悉复数阻抗，请先复习交流电与相量。
传递函数
传递函数 H 把输出相量与输入相量联系起来：H = Vout/Vin。它是一个随频率变化的复数。它的模 |H| 表示信号被放大或衰减了多少，它的辐角表示信号的相位移动了多少。由于 RC 滤波器就是由阻抗构成的分压器，H 可以用分压公式求出。
RC 低通滤波器
电阻与信号串联，电容接在输出端与地之间。低频时电容几乎不导通（XC 很大），输出几乎等于输入；高频时电容相当于短路，输出趋近于零。
H(f) = ZC / (R + ZC) = 1 / (1 + j·f/fc) fc = 1 / (2πRC) |H| = 1 / √(1 + (f/fc)²) 相位 = −arctan(f/fc)
所谓截止频率 fc，就是 XC = R 时的频率。此时 |H| = 1/√2 = 0.707，相位为 −45°。在这个频率上，输出功率是输入功率的一半，所以它也叫半功率频率。
RC 高通滤波器
只要把两个元件对调：电容串联，电阻接在输出端与地之间。这时电容阻隔直流和低频，让高频通过。
H(f) = R / (R + ZC) = (j·f/fc) / (1 + j·f/fc) |H| = (f/fc) / √(1 + (f/fc)²) 相位 = 90° − arctan(f/fc)
截止频率用同一个公式计算，fc = 1/(2πRC)。在 fc 处，幅度同样是 0.707，但相位为 +45°：输出超前于输入。
用分贝表示增益
由于滤波器的增益跨越许多个数量级，所以用分贝来表示：
GdB = 20 · log10|H|
| |H| | G (dB) |
|---|---|
| 2 | +6.02 |
| 1 | 0 |
| 0.707 | −3.01 |
| 0.5 | −6.02 |
| 0.1 | −20 |
| 0.01 | −40 |
伯德图
伯德图由两张图组成，频率轴都采用对数刻度：一张是以 dB 表示的幅度，另一张是以度表示的相位。对数刻度使每个十倍频程（频率乘以 10）占据相同的宽度。
对于低通滤波器，幅度可以用两条称为渐近线的直线来近似：
- 在 fc 以下：一条位于 0 dB 的水平线。
- 在 fc 以上：一条以每十倍频程 20 dB 下降的直线（相当于每倍频程约 6 dB，也就是频率每加倍一次）。
实际曲线与渐近线最多相差 3 dB，正好出现在 fc 处。相位则用另一种近似：fc/10 以下为 0°，然后是一条下降的直线，经过 fc 处的 −45°，到 10·fc 处降至 −90°，此后保持 −90°。这种近似的误差小于 6°。高通滤波器则是它的镜像：以每十倍频程 20 dB 上升到 fc，之后保持在 0 dB，相位从 +90° 变到 0°。
例 1：分析。某滤波器 R = 10 kΩ，C = 10 nF。求 fc，以及低通和高通两种接法在几个频率下的响应。
- fc = 1/(2π · 10 000 · 10×10−9) = 1/(6.283×10−4) = 1591.5 Hz。
- 在 5 kHz：f/fc = 3.14。低通：|H| = 1/√(1 + 9.87) = 0.303，即 −10.36 dB，相位 −72.3°。
- 高通在 5 kHz：|H| = 3.14/√(10.87) = 0.953，即 −0.42 dB，相位 +17.7°。
| f | 低通（dB） | 低通相位 | 高通（dB） | 高通相位 |
|---|---|---|---|---|
| 159 Hz (fc/10) | −0.04 | −5.7° | −20.04 | +84.3° |
| 1591.5 Hz (fc) | −3.01 | −45° | −3.01 | +45° |
| 5 kHz | −10.36 | −72.3° | −0.42 | +17.7° |
| 15.9 kHz (10 fc) | −20.04 | −84.3° | −0.04 | +5.7° |
| 159 kHz (100 fc) | −40.00 | −89.4° | 0.00 | +0.6° |
注意其中的对称性：一个滤波器衰减掉的，正是另一个放行的。
例 2：设计。你需要一个 fc ≈ 1 kHz 的低通滤波器，手头有一个 100 nF 的电容。
- 解出 R：R = 1/(2π · fc · C) = 1/(2π · 1000 · 100×10−9) = 1591.5 Ω。
- 最接近的标称值是 1.6 kΩ。
- 用 1.6 kΩ 时：fc = 1/(2π · 1600 · 100×10−9) = 994.7 Hz，与目标相差不到 1 %。
一个实用的细节：这些公式假设输出端什么都没接。如果给滤波器接上一个与 R 相当的电阻负载，通带增益会下降，fc 也会移动。为避免这种情况，可以让负载远大于 R，或者用运算放大器构成电压跟随器。
常见错误
- 对电压比使用 10·log10。电压和电流要用 20·log10；10·log10 是用于功率的。
- 以为信号在 fc 处就消失了。在 fc 处输出的是 70.7 % 的电压；滤波器是逐渐衰减的，而不是一刀切断。
- 用线性刻度画频率轴：渐近线不再是直线，−20 dB/十倍频程的斜率也看不出来。
- 忘记输出端所接的负载，它会改变实际的截止频率。
- 把高通的相位（为正，从 +90° 到 0°）与低通的相位（为负，从 0° 到 −90°）弄混。
在模拟器中试一试
模拟器的交流分析会扫描频率并画出幅度和相位，因此你可以把曲线与自己手绘的渐近线作比较。
- 放置一个正弦电源、一个 10 kΩ 的电阻和一个 10 nF 的电容，组成低通滤波器。
- 运行从 10 Hz 到 1 MHz 的交流扫描，频率轴取对数刻度，观察输出。
- 找到 −3 dB 点，验证它在 1591 Hz 附近，并且该处相位为 −45°。
- 测量 15.9 kHz 到 159 kHz 之间的下降量：应约为 20 dB。
- 把 R 和 C 对调，组成高通滤波器，重复扫描。
- 在输出端接一个 10 kΩ 的负载电阻，观察曲线如何变化。
练习题
计算 R = 4.7 kΩ、C = 100 nF 的 RC 滤波器的截止频率。
查看答案
fc = 1/(2π · 4700 · 100×10−9) = 1/(2.953×10−3) = 338.6 Hz。
某滤波器只让输入电压的四分之一通过。它的增益是多少 dB？
查看答案
G = 20 · log10(0.25) = −12.04 dB。
一个 RC 低通滤波器输入频率为 2·fc 的信号。求以 dB 表示的 |H| 和相位。
查看答案
|H| = 1/√(1 + 4) = 0.447，对应 20·log10(0.447) = −6.99 dB。相位 = −arctan(2) = −63.4°。
R = 10 kΩ、C = 10 nF 接成高通滤波器时，159 Hz 的信号被衰减多少？
查看答案
f/fc = 159.15/1591.5 = 0.1。|H| = 0.1/√(1.01) = 0.0995，相当于 −20.04 dB，相位 +84.3°。在截止频率以下一个十倍频程处，高通滤波器衰减约 20 dB。